本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。

解：首先证明一个“基本事实”：

一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0

事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则

a2=(d-d0)(a+d0)

由此得d0=0

 

1(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3

①若删去，则由a1,a3,a4 成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)

因d≠0，故由上式得a1=－4d，即=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。

②若删去a3，则由a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)

因d≠0，故由上式得a1=d，即=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。

综上可知，的值为－4或1。

(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,……,an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.

当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。

当n=5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故

(a1+d)2=a1(a1+3d)

及

                             (a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)

分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。

综上可知，n只能为4.

2假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+ d′,……，b1+(n-1) d′(b1 d′≠0)，其中三项b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列，这里0≤m1m2m3≤n-1，则有

(b1+m2 d′)2=(b1+m1 d′)(b1+m3 d′)

化简得

(m1+m3-2m2)b1 d′=(-m1m3) d′2          (*)

由b1 d′≠0知，m1+m3-2m2与-m1m3或同时为零，或均不为零。

若m1+m3-2m2=0且-m1m3=0，则有-m1m3=0，

即(m1-m3)2=0，得m1=m3，从而m1=m2=m3，矛盾。

因此，m1+m3-2m2与-m1m3都不为零，故由（*）得



因为m1，m2，m3均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数。

于是，对于任意的正整数n≥4,只要取为无理数，则相应的数列b1,b2,……,bn就是满足要求的数列，例如,取b1=1, d′=，那么，n项数列1,1+,1+2,……,满足要求。