2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学-试卷信息

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试卷信息

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学

本试卷总分为160分,共20道小题,答题时间为120分钟

一、填空题: (本大题有14小题，共70分)

(5分)的最小正周期为，其中，则=  ．

(5分)一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率  ．

(5分)表示为，则= ．

(5分)A=，则A Z 的元素的个数  ．

(5分)，的夹角为，， 则 ．

(5分)在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是_ ．

(5分)某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。




 
  
  序号
  （i）
  
  
  分组
  （睡眠时间）
  
  
  组中值
  （G_i）
  
  
  频数
  （人数）
  
  
  频率
  （F_i）
  
 
 
  
  1
  
  
  [4，5]
  
  
  4.5
  
  
  6
  
  
  0.12
  
 
 
  
  2
  
  
  [5，6]
  
  
  5.5
  
  
  10
  
  
  0.20
  
 
 
  
  3
  
  
  [6，7]
  
  
  6.5
  
  
  20
  
  
  0.40
  
 
 
  
  4
  
  
  [7，8]
  
  
  7.5
  
  
  10
  
  
  0.20
  
 
 
  
  5
  
  
  [8，9]
  
  
  8.5
  
  
  4
  
  
  0.08
  
 




在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是___ 。

(5分)设直线是曲线的一条切线，则实数b＝___ ．

(5分)在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上的一点（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别与边AC , AB 交于点E、F ，某同学已正确求得OE的方程：，请你完成直线OF的方程：（ ）.

10.

(5分)将全体正整数排成一个三角形数阵：



按照以上排列的规律，数阵中第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为  ．

11.

(5分)已知，满足，则的最小值是  ．

12.

(5分)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1( 0)的焦距为2c，以点O为圆心，为半径作圆M，若过点P 所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为= ．

13.

(5分)满足条件AB=2, AC=BC 的三角形ABC的面积的最大值是  ．

14.

(5分)设函数（x∈R），若对于任意，都有≥0 成立，则实数= ．

二、问答题: (本大题有6小题，共90分)

15.

(15分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点，已知A、B 的横坐标分别为．

（Ⅰ）求tan()的值；

（Ⅱ）求的值．

16.

(15分)如图，在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，点E 、F分别是AB、BD 的中点，

求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ；

（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD ．

17.

(15分)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．

 

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；

②设OP(km) ，将表示成的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

18.

(15分)设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．

（Ⅰ）求实数b 的取值范围；

（Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

19.

(15分)（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

19:

本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。

解：首先证明一个“基本事实”：

一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d₀=0

事实上，设这个数列中的连续三项a-d₀,a,d+d₀成等比数列，则

a²=(d-d₀)(a+d₀)

由此得d₀=0

 

1(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a₂或a₃

①若删去，则由a₁,a₃,a₄ 成等比数列，得(a₁+2d)²=a₁(a₁+3d)

因d≠0，故由上式得a₁=－4d，即=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。

②若删去a₃，则由a₁,a₂,a₄ 成等比数列，得(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)

因d≠0，故由上式得a₁=d，即=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。

综上可知，的值为－4或1。

(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a₁,a₂,……,a_n中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a₁,a₂,……,a_n的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.

当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。

当n=5时，若存在满足题设的数列a₁,a₂,a₃,a₄,a₅，则由“基本事实”知，删去的项只能是a₃，从而a₁,a₂,a₄,a₅成等比数列，故

(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)

及

                             (a₁+3d)²=(a₁+d)(a₁+4d)

分别化简上述两个等式，得a₁d=d²及a₁d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。

综上可知，n只能为4.

2假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b₁,b₁+ d′,……，b₁+(n-1) d′(b₁ d′≠0)，其中三项b₁+m₁ d′,b₁+m₂ d′,b₁+m₃ d′成等比数列，这里0≤m₁m₂m₃≤n-1，则有

(b₁+m₂ d′)²=(b₁+m₁ d′)(b₁+m₃ d′)

化简得

(m₁+m₃-2m₂)b₁ d′=(-m₁m₃) d′²          (*)

由b₁ d′≠0知，m₁+m₃-2m₂与-m₁m₃或同时为零，或均不为零。

若m₁+m₃-2m₂=0且-m₁m₃=0，则有-m₁m₃=0，

即(m₁-m₃)²=0，得m₁=m₃，从而m₁=m₂=m₃，矛盾。

因此，m₁+m₃-2m₂与-m₁m₃都不为零，故由（*）得



因为m₁，m₂，m₃均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数。

于是，对于任意的正整数n≥4,只要取为无理数，则相应的数列b₁,b₂,……,b_n就是满足要求的数列，例如,取b₁=1, d′=，那么，n项数列1,1+,1+2,……,满足要求。

20.

(15分)若，，为常数，函数f (x)定义为：对每个给定的实数x，

（Ⅰ）求对所有实数x成立的充要条件（用表示）；

（Ⅱ）设为两实数，满足，且∈,若，求证：在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）．

> 显示答案

6.42

ln2－1

10:

11:

12:

13:

14:

15:

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

解：由已知条件及三角函数的定义可知，，

因为,为锐角，所以=

因此

（Ⅰ）tan()= 

（Ⅱ） ，所以

∵为锐角，∴，∴=

16:

本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，

∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD，

∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF∥面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.

又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．

17:

本小题主要考查函数最值的应用．

解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故

，又OP＝10－10ta，

所以， 

所求函数关系式为

②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=

所求函数关系式为

（Ⅱ）选择函数模型①，

令0 得sin ，因为，所以=，

当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km处。

18:

本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；

令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为.

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋20－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19:

本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。

解：首先证明一个“基本事实”：

一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d₀=0

事实上，设这个数列中的连续三项a-d₀,a,d+d₀成等比数列，则

a²=(d-d₀)(a+d₀)

由此得d₀=0

 

1(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a₂或a₃

①若删去，则由a₁,a₃,a₄ 成等比数列，得(a₁+2d)²=a₁(a₁+3d)

因d≠0，故由上式得a₁=－4d，即=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。

②若删去a₃，则由a₁,a₂,a₄ 成等比数列，得(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)

因d≠0，故由上式得a₁=d，即=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。

综上可知，的值为－4或1。

(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a₁,a₂,……,a_n中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a₁,a₂,……,a_n的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.

当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。

当n=5时，若存在满足题设的数列a₁,a₂,a₃,a₄,a₅，则由“基本事实”知，删去的项只能是a₃，从而a₁,a₂,a₄,a₅成等比数列，故

(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)

及

                             (a₁+3d)²=(a₁+d)(a₁+4d)

分别化简上述两个等式，得a₁d=d²及a₁d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。

综上可知，n只能为4.

2假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b₁,b₁+ d′,……，b₁+(n-1) d′(b₁ d′≠0)，其中三项b₁+m₁ d′,b₁+m₂ d′,b₁+m₃ d′成等比数列，这里0≤m₁m₂m₃≤n-1，则有

(b₁+m₂ d′)²=(b₁+m₁ d′)(b₁+m₃ d′)

化简得

(m₁+m₃-2m₂)b₁ d′=(-m₁m₃) d′²          (*)

由b₁ d′≠0知，m₁+m₃-2m₂与-m₁m₃或同时为零，或均不为零。

若m₁+m₃-2m₂=0且-m₁m₃=0，则有-m₁m₃=0，

即(m₁-m₃)²=0，得m₁=m₃，从而m₁=m₂=m₃，矛盾。

因此，m₁+m₃-2m₂与-m₁m₃都不为零，故由（*）得



因为m₁，m₂，m₃均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而是一个有理数。

于是，对于任意的正整数n≥4,只要取为无理数，则相应的数列b₁,b₂,……,b_n就是满足要求的数列，例如,取b₁=1, d′=，那么，n项数列1,1+,1+2,……,满足要求。

20:

本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．

（Ⅰ）恒成立

（*）

因为

所以，故只需（*）恒成立

综上所述，对所有实数成立的充要条件是：

（Ⅱ）1如果，则的图像关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称．

因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为

2如果.

1当时.，

当，因为，所以，

故=

当，因为，所以

故=

因为，所以，所以即



当时，令，则，所以，

当时，，所以=

时，，所以=

在区间上的单调增区间的长度和

=

2当时.，

当，因为，所以，

故=

当，因为，所以

故=

因为，所以，所以

当时，令，则，所以，

当时， ，所以=

时，，所以=

在区间上的单调增区间的长度和

=

综上得在区间上的单调增区间的长度和为

正在执行中......

序号（i）	分组（睡眠时间）	组中值（G_i）	频数（人数）	频率（F_i）
1	[4，5]	4.5	6	0.12
2	[5，6]	5.5	10	0.20
3	[6，7]	6.5	20	0.40
4	[7，8]	7.5	10	0.20
5	[8，9]	8.5	4	0.08