2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）-试卷信息

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）试卷信息

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）

本试卷总分为150分,共20道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有8小题，共40分)

(5分)若集合A={x|-2≤x≤3}≤3, B={x|x-1或x4}, 则集合A∩B等于 （  ）

A. {x|x≤3或x4}

B. {x|－1x≤3}

C. {x|3≤x4}

D. {x|－2≤x-1}

(5分)若a=log₃π, b=log₇6，c=log₂0.8, 则 （  ）

A. abc

B. bac

C. cab

D. bca

(5分)“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的 （  ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

(5分)已知△ABC中，a=,b=,B=60,那么角A等于 （  ）

A. 135

B. 90

C. 45

D. 30

(5分)函数f(x)=(x-1)²+1(x1)的反函数为 （  ）

A. f ^-^-1(x)=1+(x1)

B. f^--1(x)=1-(x1)

C. f ^--1(x)=1+(x≥1)

D. f^--1(x)=1-(x≥1) x-y+1≥0,

(5分)若实数x，y满足  x+y≥0,　　则z=x+2y的最小值是

x≤0, （  ）

A. 0

C. 1

D. 2

(5分)已知等差数列｛a_n｝中，a₂=6,a₅=15.若b_n=a_2n,则数列｛b_n｝的前5项和等于 （  ）

A. 30

B. 45

C. 90

D. 186

(5分)如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，过点P作垂直平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是    



 （  ）

A. A

B. B

C. C

D. D

二、填空题: (本大题有6小题，共30分)

(5分)若角a的终边经过点P(1,-2),则tan 2a的值为　　　　　.

10.

(5分)不等式的解集是　　　　.

11.

(5分)已知向量a与b的夹角为120，且｜a｜= |b| = 4,那么ab的值为　　　　.

12.

(5分)若展开式中常数项为  ；各项系数之和为　　　　　　.（用数字作答）

13.

(5分)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC, 其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数f（1）= .

14.

(5分)已知函数f(x)=x²- cos x, 对于［－］上的任意x₁,x₂,有如下条件：

①     x₁x₂;    ②x²₁x²₂;    ③|x₁|x₂.

其中能使f(x₁) f(x₂)恒成立的条件序号是 .

三、问答题: (本大题有6小题，共80分)

15.

(13分)已知函数的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围.

16.

(14分)如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90，AP=BP=AB，PC⊥AC.

 

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.

17.

(13分)已知函数是奇函数.

（Ⅰ）求a,c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

18.

(13分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

19.

(14分)已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l: y=x+2上，且AB∥l.

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

20.

(13分)数列{a_n}满足

（Ⅰ）当a₂=-1时，求λ及a₃的值；

（Ⅱ）数列{a_n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m, 当n＞m时总有a_n＜0.

> 显示答案

10:

|x|x＜-2|

11:

-8

12:

10  32

13:

2  -2

14:

②

15:

（共13分）

解：（Ⅰ）

=

=

因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，

所以

解得ω=1.

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

因为0≤x≤，

所以≤≤

所以≤sin≤1.

因此0≤≤，即f(x)的取值范围为[0，]

16:

（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.

 

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

∵AC=BC.

∴CD⊥AB.

∵PD∩CD＝D.

∴AB⊥平面PCD.

∵PC平面PCD，

∴PC⊥AB.

 

（Ⅱ）∵AC=BC, AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC，

∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90，即AC⊥BC，

且AC∩PC=C，

∴BC⊥平面PAC

取AP中点E,连接BE,CE



∵AB=BP

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90, BC=2, BE=，

∴sin∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为aresin

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC, AP=BP,

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.

∵AC∩BC=C,

∴PC⊥平面ABC.

∵AB平面ABC，

∴PC⊥AB.

 

(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

 

则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

设P（0，0，t）,

∵｜PB｜=｜AB｜＝2，

∴t=2, P(0,0,2).

取AP中点E，连结BE，CE.

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP, BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为arccos

17:

（共13分）

解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，

所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 即f (-x)- 2= -f (x)+2.

又f(x)=x³+ax²+3bx+c,

所以-x³+ax²-3bx+c-2=-x³-ax²-3bx-c+2.

所以{

解得a=0，c＝2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x³+3bx+2.

所以f′(x)=3x²+3b(b≠0).

当b＜0时，由f′(x)=0得x=

x变化时，f′(x)的变化情况如下表：


 
  
  x
  
  
  (-∞,- )
  
  
  -
  
  
  (-,)
  
  
  
  
  
  (,+∞)
  
 
 
  
  f′(x)
  
  
  +
  
  
  0
  
  
  -
  
  
  0
  
  
  +
  
 


所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.

当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增.

18:

（共13分）

解：

（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E_A，那么

　　　　　　　　　　P（E_A）=

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么

P（E）＝

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是

P（）=1-P(E)=

19:

（共14分）

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.

设A，B两点坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).

由得

所以

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

所以

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.

            由得

            因为A，B在椭圆上，

            所以

　　　  设A，B两点坐标分别为（x₁, y₁），（x₂, y₂）.

            则

　　　  所以

　　　  又因为BC的长等于点（0, m）到直线l的距离，即

            所以

　　　  所以当m=-1时，AC边最长.（这时）

            此时AB所在直线的方程为y=x-1.

20:

（共13分）

解：（Ⅰ）由于且a₁=1，

              所以当a₂= -1时，得,

              故

            　从而

　（Ⅱ）数列{a_n}不可能为等差数列.证明如下：

            　由a₁=1，得

　　     　

            　若存在，使｛a_n｝为等差数列，则a₃-a₂=a₂-a₁,即

            　

            　解得=3.

              于是

　　　　　这与｛a_n｝为等差数列矛盾，所以，对任意，{a_n}都不可能是等差数列.

（Ⅲ）记根据题意可知，b₁＜0且，即＞2且N*)，这时总存在N*，满足：当n≥n₀时，b_n＞0；当n≤n₀-1时，b_n＜0.

　　　　所以由a_n₊₁=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀为偶数，则，从而当n＞n₀

时a_n＜0；若n₀为奇数，则，从而当n＞n₀时a_n＞0.

因此“存在mN*，当n＞m时总有a_n＜0”的充分必要条件是：n_o为偶数，

记n_o=2k(k=1,2, …)，则满足

                     

故的取值范围是4k²+2k (kN*).

正在执行中......