2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）-试卷信息

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）试卷信息

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）

本试卷总分为148分,共21道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有10小题，共50分)

(5分)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（     ）

(5分)已知，复数，则的取值范围是（    ）

A. （1，5）

B. （1，3）

C. （1，）

D. （1，）

(5分)已知平面向量，，且//，则＝（    ）

(5分)记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（    ）

A. 2

B. 3

C. 6

D. 7

(5分)已知函数，则是（     ）

A. 最小正周期为的奇函数

B. 最小正周期为的奇函数

C. 最小正周期为的偶函数

D. 最小正周期为的偶函数

(5分)经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（    ）

(5分)将正三棱柱截去三个角（如图1所示ABC分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为



 （  ）

A. A

B. B

C. C

D. D

(5分)命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（      ）

A. 若，则函数在其定义域内不是减函数

B. 若，则函数在其定义域内不是减函数

C. 若，则函数在其定义域内是减函数

D. 若，则函数在其定义域内是减函数

(5分)设，若函数，，有大于零的极值点，则（    ）

10.

(5分)设，若，则下列不等式中正确的是（    ）

二、填空题: (本大题有5小题，共20分)

11.

(4分)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，，，，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是 。

12.

(4分)若变量满足，则的最大值是 。

13.

(4分)阅读图4的程序框图，若输入则输出 ， 。（注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“”或“”

14.

(4分)（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线 交点的极坐标为 。

15.

(4分)（几何证明选讲选做题）已知是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝ 。

三、问答题: (本大题有6小题，共78分)

16.

(13分)已知函数的最大值是1，其图像经过点。

 (1) 求的解析式；

 (2) 已知，且求的值。

17.

(13分)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元），为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）

18.

(13分)如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。



 (1) 求线段PD的长；

 (2) 若，求三棱锥P-ABC的体积。

19.

(13分)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：


 
  
   
  
  
  初一年级
  
  
  初二年级
  
  
  初三年级
  
 
 
  
  女生
  
  
  373
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  男生
  
  
  377
  
  
  370
  
  
  
  
 


已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.

 (1) 求的值；

 (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

 (3) 已知，求初三年级中女生比男生多的概率。

20.

(13分)设，椭圆方程为，抛物线方程为如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点。



 (1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

 (2) 设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P,使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。

21.

(13分)设数列满足，，  。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。

 (1) 求数列和的通项公式；

 (2) 记，求数列的前项和。

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

12  2

14:

15:

16:	解：（1）依题意知A=1 ，又； ∴ 即因此； (2) ∵ 且 ∴ ；

17:

解：设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元，则

            (x≥10，x∈Z⁺)

         

         令f(x)=0 得 x=15

         当x15时，f(x)0；当0x15时，f(x)0

         因此 当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2000；

         答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

18:

解：（1）∵BD是圆的直径

∴∠BAD=90      又△ADP~△BAD

∴

        

 

 (2) 在Rt△BCD中，CD=BDcos45=R

∵PD²+CD²=9R²+2R²=11R²=PC²

∴PD⊥CD 又 ∠PDA=90

∴PD⊥底面ABCD

S_△ABC=ABBC sin(60+45)=RR=R²

三棱锥P-ABC的体积为

19:

解：（1）∵

∴x=380

 (2) 初三年级人数为y+z=2000-(373+377+388+370)=500，

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：

     500=12名

 (3) 设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生男生数记为(y,z)：

     由（2）知y+z=500，且y,z∈N，

     基本事件空间包含的基本事件有：

        (245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共11个

     事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个

     ∴P(A)=；

20:

解：（1）由x²=8(y-b)得 y=x²+b

当y=b+2时，x=4，∴G点的坐标为(4,b+2)

，

过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4，即y=x+b-2

令y=0得x=2-b，∴F₁点的坐标为(2-b,0)；

由椭圆方程得F₁点的坐标为(b,0)，

∴2-b=b  即b=1

因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和x²=8(y-1)

 

 (2) ∵过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，

     ∴以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个；

     同理以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个；

     若以∠APB为直角，设P点的坐标为(x,x²+1)，则A、B坐标分别

为、

           由=x²-2+(x²+1)²=0得，

           关于x²的一元二次方程有一解，∴x有二解，即以∠APB为直角的Rt△ABP有二个；

           因此抛物线上共存在4个点使△ABP为直角三角形。

21:

解：（1）由得(n≥3)

又a₂-a₁=1≠0，

∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1公比为的等比数列，



a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+(a₄-a₃)+…+(a_n-a_n-1)

=，

由  得b₂=-1，由   得b₃=1，…

同理可得当n为偶数时，b_n=-1；当n为奇数时，b_n=1；

因此bn=



 (2) 



     S_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n

     当n为奇数时，

     

       =

     当n为偶数时



  =

令T_n=    ……①

①得：T_n=  ……②

①-②得：T_n =

             =    ∴T_n =

因此S_n=

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