2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试-试卷信息

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试试卷信息

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试

本试卷总分为150分,共21道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有10小题，共50分)

(5分)已知，，，则(     )

(5分)“”是“”的(     )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

(5分)已条变量满足则的最小值是(     )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

(5分)函数的反函数是(     )

(5分)已知直线m,n和平面满足,则(     )

B. 或

D. 或

(5分)下面不等式成立的是(     )

(5分)在中，AB=3，AC=2，BC=，则 (     )

(5分)某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，

则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是(     )

A. 15

B. 45

C. 60

D. 75

(5分)长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，，则顶点B间的球面距离是()  
 （  ）

D. 2

10.

(5分)若双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是(     )

二、填空题: (本大题有5小题，共25分)

11.

(5分)已知向量，，则||=.

12.

(5分)从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：



则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多人。

13.

(5分)记的展开式中第m项的系数为，若，则=.

14.

(5分)将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是,若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为.

15.

(5分)设表示不超过x的最大整数，（如）。对于给定的,

定义则;

当时，函数的值域是。

三、问答题: (本大题有6小题，共75分)

16.

(12分)甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：

（I）至少一人面试合格的概率；

（II）没有人签约的概率。

17.

(12分)已知函数.

（I）求函数的最小正周期；

（II）当且时，求的值。

18.

(12分)如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，。

（I）证明：平面PBE平面PAB；

（II）求二面角A—BE—P的大小。

19.

(13分)已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。

（I）求椭圆的方程；

（II）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。

20.

(13分)数列满足

（I）求，并求数列的通项公式；

（II）设，，，

求使的所有k的值，并说明理由。

21.

(13分)已知函数有三个极值点。

（I）证明：；

（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

> 显示答案

10:

11:

２

12:

13:

14:

15:

16:	解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，且（I）至少有一人面试合格的概率是（II）没有人签约的概率为

17:	解：由题设有．（I）函数的最小正周期是（II）由得即因为,所以从而于是

18:

解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，



是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以

又所以

              又因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此 平面PAB. 

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 

所以

又所以是二面角的平面角．

在中, ．

故二面角的大小为

解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是





（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB. 

又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知设是平面PBE的一个法向量,

则由得 所以

故可取而平面ABE的一个法向量是

于是,．

故二面角的大小为

19:

解：（I）设椭圆的方程为

由条件知且所以

        故椭圆的方程是

（II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是

        设点关于直线的对称点为则

    解得

因为点在椭圆上，所以即



设则

 

 

因为所以于是,

当且仅当

上述方程存在正实根,即直线存在.

解得所以

     即的取值范围是

20:

解：（I）因为所以

        

一般地, 当时，



        即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，

        因此

当时，

        所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

        故数列的通项公式为

 

   （II）由（I）知，

         

于是.

下面证明: 当时，事实上, 当时，

即

又所以当时，

故满足的所有k的值为3,4,5.

21:

解：（I）因为函数有三个极值点, 

所以有三个互异的实根.

        设则

        当时， 在上为增函数;

        当时， 在上为减函数;

        当时， 在上为增函数;

       所以函数在时取极大值,在时取极小值.

       当或时,最多只有两个不同实根.

       因为有三个不同实根, 所以且.

       即,且,

解得且故.

 

    （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点.

         不妨设为（），则

         所以的单调递减区间是,

         若在区间上单调递减，

则, 或,

  若,则.由（I）知，,于是

  若,则且.由（I）知，

         又当时，;

         当时，.

         因此, 当时，所以且

即故或反之, 当或时，

总可找到使函数在区间上单调递减.

综上所述, 的取值范围是.

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