2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）-试卷信息

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试卷信息

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）

本试卷总分为150分,共21道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有10小题，共50分)

(5分)设a=(1，－2), b=(－3,4),c=(3,2)，则(a+2b)c= （  ）

B. 0

C. －3

D. －11

(5分)¹⁰的展开式中常数项是 （  ）

A. 210

C. 1/4

D. －105

(5分)若集合 （  ）

A. “”是“”的充分条件但不是必要条件

B. “”是“”的必要条件但不是充分条件

C. “”是“”的充要条件

D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件

(5分)用与球必距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 （  ）

(5分)在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的

 （  ）

A. A

B. B

C. C

D. D

(5分)已知在R上是奇函数，且满足 当时， ，则 = （  ）

A. －2

B. 2

C. －98

D. 98

(5分)将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 （  ）

(5分)函数的定义域为 （  ）

(5分)从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 （  ）

A. 100

B. 110

C. 120

D. 180

10.

(5分)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①②③④其中正确式子的序号是

 （  ）

A. ①③

B. ②③

C. ①④

D. ②④

二、填空题: (本大题有5小题，共25分)

11.

(5分)一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的员工人数是 .

12.

(5分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则

A＝_  .

13.

(5分)方程的实数解的个数为  .

14.

(5分)明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是  .

15.

(5分)圆的圆心坐标为  ，和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是  .

三、问答题: (本大题有6小题，共75分)

16.

(12分)已知函数

  （Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期； 

  （Ⅱ）求函数上的最大值和最小值

17.

(12分)已知函数（m为常数，且m0）有极大值9.

  （Ⅰ）求m的值；

  （Ⅱ）若斜率为－5的直线是曲线的切线，求此直线方程。

18.

(12分)如图，在直三棱柱中，平面侧面

  

（Ⅰ）求证： 

  （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

19.

(12分)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm²，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

20.

(13分)已知双曲线的两个焦点为在双曲线C上. 

  （Ⅰ）求双曲线C的方程；

  （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

若△OEF的面积为求直线l的方程

21.

(14分)已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=，a_n+1=,b_n=(－1)ⁿ(a_n－3n+21)，其中为实数，为正整数。

（I）证明：对任意实数，数列{a_n}不是等比数列；

（II）证明：当

（III）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有     若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

> 显示答案

10:

11:

12:

30（或）

13:

14:

0.98

15:	（3，－2）（x＋2）²＋（y－3）²＝16（或x²＋y²＋4x－6y－3＝0）

16:

本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.

（满分12分）

解：(Ⅰ)f(x)=sinx+.

      故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝.

(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.

故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，

所以当x=π时，f(x)有最大值－2.

17:

本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分12分）

解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,

    当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：




 
  
  x
  
  
  (－∞,－m)
  
  
  －m
  
  
  (－m,)
  
  
  
  
  
  (,+∞)
  
 
 
  
  f’(x)
  
  
  +
  
  
  0
  
  
  －
  
  
  0
  
  
  +
  
 
 
  
  f (x)
  
  
   
  
  
  极大值
  
  
   
  
  
  极小值
  
  
   
  
 




从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依题意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切线方程为y－6＝－5(x＋1), 或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

18:

本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）

   (Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，



得AD⊥平面A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

   (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=j.

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋j＝∠AA₁B＋j＝，故θ＋j＝.

      证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c，a）,

,=(0,0,a)

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝（0，－a，c），于是

n=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.

sinq=cosb=,

cosj=

所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.

19:

本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分）

解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.                 ①

广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.

广告的面积S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.

即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.

故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.

解法2：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25

两栏面积之和为2(x－20),由此得y=

广告的面积S=xy=x()＝x,

整理得S=

因为x－20＞0，所以S≥2

当且仅当时等号成立，

此时有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，

故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.

20:

本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.

（满分13分）

(Ⅰ)解法1：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4)，

将点（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求双曲线方程为

解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.

2a=|PF₁|－|PF₂|=

∴a²=2，b²=c²－a²=2.

∴双曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.                           ①

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴

∴k∈(－)∪ (-1,1)∪(1,).                 ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=,

满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

 

 

解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                          ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈(－)∪(-1,1)∪(1,).                                   ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得

|x₁－x₂|＝.     ③



当E、F在同一支上时（如图1所示），

S_ΔOEF＝|S_ΔOQF－S_ΔOQE|=；

当E、F在不同支上时（如图2所示），

S_ΔOEF＝S_ΔOQF＋S_ΔOQE＝

综上得S_ΔOEF＝，于是

由|OQ|＝2及③式，得S_ΔOEF＝.

若S_ΔOEF＝2，即,解得k=,满足②.

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和y=

21:

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.（满分14分）

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛a_n｝是等比数列，则有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

（Ⅱ）证明：∵

                  =

又由上式知

故当数列｛b_n｝是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是

       

         当时，，从而上式仍成立.

         要使对任意正整数n , 都有

          即

          令

          当n为正奇数时，当n为正偶数时，

           

           于是可得

           综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

          的取值范围为

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