8  

3  

  0.6  

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

解：（Ⅰ）

． 

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范围是．

本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．

连接，于是就是直线与平面所成的角．

依题意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故当时，直线与平面所成的角为．

解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

于是，，，．

从而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由．



得

可取，又，

于是，

即，．

故交时，直线与平面所成的角为．

解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．

从而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，

平面平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则由，得



可取，又，

于是，

即．

故交时，

即直线与平面所成角为．

本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，

则依题意有，

又由已知条件，，于是有，

所以．

（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．




 

  

  
  
  

  
  
  

  2
  
  

  
  
  

  12
  
  

  
  
 
 

  

  
  
  

  
  
  

  0
  
  

  
  
  

  0
  
  

  
  
 
 

  

  
  
  

  
  
  

  极小
  
  

  
  
  

  极大
  
  

  
  
 




故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大．

本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．

解法1：（Ⅰ）令，

则由题意可得．

故所求实数的取值范围是．

（II），令．

当时，单调增加，当时，

，即．

解法2：（I）同解法1．

（II），由（I）知，

．又于是

，

即，故．

解法3：（I）方程，由韦达定理得

，，于是

．

故所求实数的取值范围是．

（II）依题意可设，则由，得



，故．

本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

解法1：（I）证：由，有， ．

（II）证：，

，，

．

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）得，，于是



                            

                            ．

当时，

                                                 ．

当时，

                                                 

                                                 ．

故

解法2：（I）同解法1（I）．

（II）证： ，又，

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）的类似方法得，

，

，．

．

下同解法1．

本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，



直线的方程为，与联立得消去得．

由韦达定理得，．

于是．



，

当，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，



则，点的坐标为．

，

，



，

．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得



，

又由点到直线的距离公式得．

从而，

当时，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．