2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学-试卷信息

正在执行中......

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学试卷信息

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学

本试卷总分为150分,共22道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有12小题，共60分)

(5分)已知集合，，则等于（　　）

(5分)a=1”是“直线和直线互相垂直”的（　　）条件 （  ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

(5分)设是等差数列，若，则数列前8项和为（　　）

A. 128

B. 80

C. 64

D. 56

(5分)函数，若，则的值为（　　）

A. 3

B. 0

C. -1

D. -2

(5分)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（　　）

(5分)如图，在长方体中，分别为，则与平面所成的角的正弦值为（　　）

 （  ）

(5分)函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则的解析式为（　　）

(5分)在△ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若，则角B的值为（　　）

C. 或

D. 或

(5分)某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（　　）

A. 14

B. 24

C. 28

D. 48

10.

(5分)若实数x,y满足{   ，则的取值范围是（　　）

11.

(5分)如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（　　）



 （  ）

A. A

B. B

C. C

D. D

12.

(5分)双曲线的两个焦点为，若P为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

二、填空题: (本大题有4小题，共16分)

13.

(4分)展开式中的系数是 （用数字作答）

14.

(4分)若直线与圆没有公共点，则实数m的取值范围是

15.

(4分)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是

16.

(4分)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域，有下列命题：

①数域必含有0，1两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集，则数集M必为数域；

④数域必为无限域。

其中正确的命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）

三、问答题: (本大题有6小题，共74分)

17.

(12分)已知向量且。

 (1) 求的值；

 (2) 求函数的值域。

18.

(12分)三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响。

 (1) 求恰有二人破译出密码的概率；

 (2) “密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由。

19.

(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。



 (1) 求证：PO⊥平面ABCD;

 (2) 求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

 (3) 求点A到平面PCD的距离

20.

(12分)已知是正整数组成的数列，，且点在函数的图像上：

 (1) 求数列的通项公式；

 (2) 若数列满足，求证：

21.

(12分)已知函数的图像过点（-1，-6），且函数的图像关于y轴对称。

 (1) 求m,n的值及函数的单调区间；

 (2) 若a0，求函数在区间内的极值。

22.

(14分)如图，椭圆C:的一个焦点为F（1，0）且过点（2，0）。



 (1) 求椭圆C的方程；

 (2) 若AB为垂直与x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M.

①求证：点M恒在椭圆C上；

②求△AMN面积的最大值。

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

14:

15:

16:

①④

17:

本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力。满分12分。

解：（1）由题意得

,

因为cosA≠0，所以tanA=2

 (2) 由（1）知tanA=2得

  



当，有最大值；

当，有最小值。

所以所求函数的值域为

18:

解：记“第i个人破译出密码”为事件，依题意有

且A₁，A₂，A₃相互独立。

 (1)        设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有：

B＝A₁A₂A₁A₃+A₂A₃且A₁A₂，A₁A₃，A₂A₃

彼此互斥

于是P(B)=P(A₁A₂)+P（A₁A₃）+P（A₂A₃）

　　　　＝

　　　　＝.

 (2) 设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则有：

 D＝，且，，互相独立，则有

P（D）＝P（）P（）P（）＝＝.

而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.

所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大

19:

解：

 

解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD, AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=2=.

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACDOP＝S_△PCDh，

即11＝h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz. 



则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），

cos〈、〉=，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，

（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x₀,y₀,x₀），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

则　　n＝0，所以　　-x₀+ z₀=0_,

n＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，

即x₀=y₀=z₀,

取x₀=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝

20:

解：

 

解法一：

（Ⅰ）由已知得a_n₊₁=a_n+1、即a_n₊₁-a_n=1，又a₁=1,

所以数列｛a_n｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

故a_n=1+(a-1)1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n从而b_n₊₁-b_n=2ⁿ.

b_n=(b_n-b_n_-1)+(b_n_-1-b_n_-2)++（b₂-b₁）+b₁

=2ⁿ^-1+2ⁿ^-2++2+1

＝=2ⁿ-1.

因为b_nb_n₊₂-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2ⁿ^-1-1)²

=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2^2n+2-2-2n+1-1)

=-52ⁿ+42ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_nb_n₊₂＜b,

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为b₂=1,

b_nb_n₊₂- b=(b_n₊₁-2ⁿ)(b_n₊₁+2ⁿ⁺¹)- b

            =2ⁿ⁺¹b_n_-1-2ⁿb_n₊₁-2ⁿ2ⁿ⁺¹

＝2ⁿ（b_n₊₁-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n₊₂ⁿ-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n-2ⁿ）

=…

=2ⁿ（b₁-2）

=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n₊₂b²_n₊₁

21:

解：（1）由函数f (x)图像过（-1，-6），得m-n=-3，……①

由，得：

而图像关于y轴对称，所以：，即m=-3,

代入①得n=0

于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).

由f′(x)得x2或x0,

故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)0得0x2,

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：



由此可得：

当0a1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；

当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；

当1a3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.

综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

22:

解：（1）由题设a=2,c=1,从而：所以椭圆C的方程为：

 (2) (i)由题意得F(1,0),N(4,0).



设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，

n(x-4)-(m-4)y=0.

设M(x₀,y₀),则有  n(x₀-1)-(m-1)y₀=0, ……②

n(x₀-4)+(m-4)y₀=0, ……③

由②，③得

x₀=.

 



所以点M恒在椭圆G上.

(ⅱ)设AM的方程为x=ty+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

设A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），则有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ(λ≥4),则

|y₁-y₂|＝

因为λ≥4，0

|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F.

△AMN的面积S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）同解法一：

（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),                  ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,                  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,                  ……③

由②，③得：当x≠.        ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

当x=时，由②，③得：

解得与a≠0矛盾.

所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.

（Ⅱ）同解法一.

正在执行中......