2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）-试卷信息

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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）试卷信息

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

本试卷总分为150分,共20道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有8小题，共40分)

(5分)设集合，则                       （     ）

(5分)已知向量，如果，那么 （  ）

A. 且与同向

B. 且与反向

C. 且与同向

D. 且与反向

(5分)若为有理数），则                             （    ）

A. 33

B. 29

C. 23

D. 19

(5分)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点       （    ）

A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

(5分)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为                       （    ）

A. 8

B. 24

C. 48

D. 120

(5分)“”是“”的 （  ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

(5分)若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60角，则到底面ABCD的距离为                                                        (     )

B. 1

(5分)设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是                (    )

A. 三角形区域

B. 四边形区域

C. 五边形区域

D. 六边形区域

二、填空题: (本大题有6小题，共30分)

(5分)若，则 .

10.

(5分)若数列满足：，则 ；前8项的和

 .（用数字作答）

11.

(5分)若实数满足则的最大值为 .

12.

(5分)已知函数若，则 .

13.

(5分)椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小为.

14.

(5分)设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

三、问答题: (本大题有6小题，共80分)

15.

(12分)已知函数.            

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

16.

(14分)如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上. 



（Ⅰ）求证：平面；              

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

17.

(13分)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.

18.

(14分)设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.

19.

(14分)已知双曲线的离心率为，右准线方程为。

（Ⅰ）求双曲线C的方程；    

（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.

20.

(13分)设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式；    

（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

2  120

14:

15:

本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．

（Ⅰ）∵，

∴函数的最小正周期为.

（Ⅱ）由，∴，

∴在区间上的最大值为1，最小值为.

16:

解法1:本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

      由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

      ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

      ∴O，E分别为DB、PB的中点，

      ∴OE//PD，，又∵，

      ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

      在Rt△AOE中，，

            ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

解法2:如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

              设

则，

（Ⅰ）∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，

   设AC∩BD=O，连接OE， 

 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

   ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

  ∵，

∴，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

17:

解析:本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.

（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.

      则由题意，得，

.

由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，

∴事件B的概率为.

18:

解析:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）,

∵曲线在点处与直线相切，

∴

（Ⅱ）∵,

当时，，函数在上单调递增，

此时函数没有极值点.

当时，由，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴此时是的极大值点，是的极小值点.

19:

解析:本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，    

               ∴，∴所求双曲线的方程为.

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，

      由得（判别式）,

     ∴,

∵点在圆上，    

∴，∴.

20:

解析:本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

（Ⅰ）由题意，得，解，得.     

        ∴成立的所有n中的最小整数为7，即.

       （Ⅱ）由题意，得，    

对于正整数，由，得.

根据的定义可知    

当时，；当时，.

∴

                 

                 .     

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.

∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有

，即对任意的正整数m都成立.

     当（或）时，得（或），

      这与上述结论矛盾！    

    当，即时，得，解得.

     ∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范围分别是，.

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