2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学-试卷信息

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2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学试卷信息

2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题文科数学

本试卷总分为150分,共22道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有12小题，共60分)

(5分)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C_u( MN)= （  ）

A. {5，7}

B. {2，4}

C. {2.4.8}

D. {1，3，5，6，7}

(5分)函数y=(x0)的反函数是 （  ）

A. （x0）

B. （x0）

C. （x0）

D. （x0）

(5分)函数y=的图像 （  ）

A. 关于原点对称

B. 关于主线对称

C. 关于轴对称

D. 关于直线对称

(5分)已知△ABC中，，则 （  ）

(5分)已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线

与所形成角的余弦值为 （  ）

(5分)已知向量a = (2,1)， ab = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱= （  ）

C. 5

D. 25

(5分)设则 （  ）

(5分)双曲线的渐近线与圆相切，则r= （  ）

B. 2

C. 3

D. 6

(5分)若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 （  ）

10.

(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 （  ）

A. 6种

B. 12种

C. 24种

D. 30种

11.

(5分)已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k= （  ）

12.

(5分)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

 （  ）

A. 南

B. 北

C. 西

D. 下

二、填空题: (本大题有4小题，共20分)

13.

(5分)设等比数列{}的前n项和为。若，则=___

14.

(5分)的展开式中的系数为

15.

(5分)已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于___

16.

(5分)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于___

三、问答题: (本大题有6小题，共70分)

17.

(10分)已知等差数列{}中，求{}前n项和.

18.

(12分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.

19.

(12分)  如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁



（Ⅰ）证明：AB=AC     

（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60,求B₁C与平面BCD所成的角的大小

20.

(12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

21.

(12分)设函数，其中常数a1

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。

22.

(12分)已知椭圆C:     的离心率为    ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

14:

15:

16:

答案：8π

17:	解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设的公差为，则即解得因此

18:

解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉)，从而求出B=。

解：由     cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得

        cos（AC）cos（A+C）=，

        cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,

         sinAsinC=.

又由=ac及正弦定理得    

      

故    ，

    或   （舍去），

于是  B= 或 B=.

又由  知或

所以 B=。

19:

解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC₁,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。

解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。



连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=60^0..

设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。

由得2AD=，解得AD=。

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。    

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=30⁰，即与平面BCD所成的角为30⁰.

解法二：

（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。



设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以    AB=AC。

（Ⅱ）设平面BCD的法向量则

又=（-1，1， 0），

=（-1，0，c）,故     

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角为60知，=60，

故  ，求得     

于是   ，  

，

            

所以与平面所成的角为30

20:

解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。

解：（I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

（II）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

                    

（III）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，

       表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，

       表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

       与独立， ，且

故

21:

解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解： （I）     

       由知，当时，，故在区间是增函数；

        当时，，故在区间是减函数；

        当时，，故在区间是增函数。

        综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

     （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。

              

                    

              

由假设知    

             即    解得  1a6

故的取值范围是（1，6）

22:

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为

     

   故  ，      

       由 

       得 ，=

（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由 （Ⅰ）知C的方程为+=6. 设

 (ⅰ) 

　C 成立的充要条件是， 且

整理得 



故                   ①

将 

     

于是 , =,

      

   

     代入①解得，，此时

     于是=， 即     

     因此， 当时，， ；

 当时，， 。

（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为

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