2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医科）-试卷信息

正在执行中......

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医科）试卷信息

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医科）

本试卷总分为150分,共22道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有12小题，共60分)

(5分)设集合则 （  ）

(5分)已知函数连续，则常数的值是 （  ）

A. ２

B. ３

C. ４

D. ５

(5分)复数的值是 （  ）

A. －１

B. １

C. －

(5分)已知函数，下面结论错误的是 （  ）

A. 函数的最小正周期为

B. 函数在区间上是增函数

C. 函数的图像关于直线对称

D. 函数是奇函数

(5分)如图，已知六棱锥的底面是正六边形，，则下列结论正确的是

 （  ）

B. 平面

C. 直线∥平面

(5分)已知为实数，且。则“”是“”的 （  ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

(5分)已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则= （  ）

C. 0

D. 4

(5分)如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是

 （  ）

(5分)已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 （  ）

A. 2

B. 3

10.

(5分)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 （  ）

A. 12万元

B. 20万元

C. 25万元

D. 27万元

11.

(5分)3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 （  ）

A. 360

B. 188

C. 216

D. 96

12.

(5分)已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 （  ）

A. 0

C. 1

二、填空题: (本大题有4小题，共16分)

13.

(4分)的展开式的常数项是 （用数字作答）

14.

(4分)若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 w

15.

(4分)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧   棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。

16.

(4分)设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：

①设是平面上的线性变换，则        

②对设，则是平面上的线性变换；       

③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；

④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。

其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、问答题: (本大题有6小题，共74分)

17.

(12分)在中，为锐角，角所对应的边分别为，且

（I）求的值；    

（II）若，求的值。

18.

(12分)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。

（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。

19.

(12分)如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，



（I）求证：；

（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（III）求二面角的大小。

19:

本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角

等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：



（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，

平面平面，

所以⊥平面

所以⊥.

因为为等腰直角三角形，  ，

所以

又因为，

所以，

即⊥,

所以⊥平面。     ……………………………………4分

      （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

                取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC

                所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

                因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

                所以PM∥平面BCE           ……………………………………8分

       （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角

因为FA=FE, ∠AEF=45,

所以∠AFE=90，∠FAG=45.

设AB=1,则AE=1,AF=.     

FG=AFsinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45,BG=AB+AG=1+=,

GH=BGsinGBH==

在Rt△FGH中，tanFHG= = 

故二面角F-BD-A的大小为arctan.       ………………………………12分

解法二:

 

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45,

所以∠AFE= 90.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

 (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.

从而=（，）.

于是

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PM∥平面BCE.                                  ………………………………8分

(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）

=(1，1，0)，

     即

去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）

取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）



故二面角F-BD-A的大小为.        ……………………………………12分

20.

(12分)已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

21.

(12分)已知函数。

（I）求函数的定义域，并判断的单调性；

（II）若

（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。

22.

(14分)设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

（I）求数列的通项公式；

（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

-20

14:

15:

16:

①②④

17:

本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。

解：（Ⅰ）、为锐角，，

又，

，，

         

           …………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,.

  由正弦定理得

，即，     

 ，

 ，

      ……………………………………12分

18:

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。

     解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

     事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

     事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。     

     

          

          

          

     所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。

…………………………………………………………6分

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3

      ,    

      ，，

     所以的分布列为


 
  
  
  
  
  0
  
  
  1
  
  
  2
  
  
  3
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 


     所以，  ……………………12分

19:

本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角

等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：



（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，

平面平面，

所以⊥平面

所以⊥.

因为为等腰直角三角形，  ，

所以

又因为，

所以，

即⊥,

所以⊥平面。     ……………………………………4分

      （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

                取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC

                所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

                因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

                所以PM∥平面BCE           ……………………………………8分

       （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角

因为FA=FE, ∠AEF=45,

所以∠AFE=90，∠FAG=45.

设AB=1,则AE=1,AF=.     

FG=AFsinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45,BG=AB+AG=1+=,

GH=BGsinGBH==

在Rt△FGH中，tanFHG= = 

故二面角F-BD-A的大小为arctan.       ………………………………12分

解法二:

 

(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因为FA=FE, ∠AEF = 45,

所以∠AFE= 90.

从而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

 (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.

从而=（，）.

于是

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PM∥平面BCE.                                  ………………………………8分

(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）

=(1，1，0)，

     即

去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）

取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）



故二面角F-BD-A的大小为.        ……………………………………12分

20:

本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。

      解：（Ⅰ）有条件有，解得。    

          。

            所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。

 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.

 将x=-1代入椭圆方程得。

 不妨设、，

 .

 ,与题设矛盾。

 直线l的斜率存在。

 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。

设、，

联立，消y得。

由根与系数的关系知，从而，

又，，

。



              

              

。

化简得

解得

21:

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

解：（Ⅰ）由题意知

当



当

当….（4分）

（Ⅱ）因为

由函数定义域知0,因为n是正整数，故0a1.

所以

（Ⅲ）

令

①     当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值

②     当时，有两个实根

当x变化时，、的变化情况如下表所示：


 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
  +
  
  
  0
  
  
  -
  
  
  0
  
  
  +
  
 
 
  
  
  
  
  ↗
  
  
  极大值
  
  
  ↘
  
  
  极小值
  
  
  ↗
  
 


的极大值为，的极小值为

③     当时，在定义域内有一个实根， 

同上可得的极大值为

综上所述，时，函数有极值；

当时的极大值为，的极小值为

当时，的极大值为

22:

本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）当时，

又 



数列成等比数列，其首项，公比是



……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知



   = 

 又

当

当

                   

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设

则

     

     

     

对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾。

另一方面，当时，对一切的正整数n都有

事实上，对任意的正整数k，有



          

          

当n为偶数时，设

则

          

当n为奇数时，设

则



对一切的正整数n，都有

综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分

正在执行中......