2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）-试卷信息

正在执行中......

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）试卷信息

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）

本试卷总分为150分,共20道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有8小题，共40分)

(5分)在复平面内，复数对应的点位于                             （    ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

(5分)已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么          （    ）

A. 且c与d同向

B. 且c与d反向

C. 且c与d同向

D. 且c与d反向

(5分)为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点      （    ）

A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

(5分)若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则

到底面的距离为              （    ）

B. 1

(5分)“”是“”的                          （    ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

(5分)若为有理数），则                         （     ）

A. 45

B. 55

C. 70

D. 80

(5分)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为       （    ）

A. 324

B. 328

C. 360

D. 648

(5分)点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且

，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是            （    ）

A. 直线上的所有点都是“点”

B. 直线上仅有有限个点是“点”

C. 直线上的所有点都不是“点”

D. 直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”

二、填空题: (本大题有6小题，共30分)

(5分).

W

10.

(5分)若实数满足则的最小值为.

11.

(5分)设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为.

12.

(5分)椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则；的小大为.

13.

(5分)若函数  则不等式的解集为.

14.

(5分)已知数列满足：则；

=.

三、问答题: (本大题有6小题，共80分)

15.

(13分)在中，角的对边分别为，.     

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积.

16.

(14分)如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且     

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

17.

(13分)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；              

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

18.

(13分)设函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；    

（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

19.

(14分)已知双曲线的离心率为，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

20.

(13分)已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.

（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）证明：，且；

（Ⅲ）证明：当时，成等比数列

> 显示答案

10:

-6

11:

-1

12:

2  120

13:

[-3，1]

14:

1  0

15:

本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．

（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，

∴，

∴.

       （Ⅱ）由（Ⅰ）知，    

             又∵，

∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴.

∴△ABC的面积.

16:

[解法1]题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

 

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.



（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小为.

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.     

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.

[解法2]如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

        设，由已知可得

       .

       （Ⅰ）∵，    

∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，

∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，

∴.

∴与平面所成的角的大小为.

（Ⅲ）同解法1.

17:

本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.

（Ⅱ）由题意可得，可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.     

事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），

∴，    

∴即的分布列是


 
  
  
  
  
  0
  
  
  2
  
  
  4
  
  
  6
  
  
  8
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 


∴的期望是.

18:

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）,

             曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ）由，得，

      若，则当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

若，则当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，    

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增；

若，则当且仅当，即时，函数在内单调递增，    综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.

19:

[解法1]题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，

解得，

∴，

∴所求双曲线的方程为.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得

由    及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，

设A、B两点的坐标分别为，

则，

∵，

且，





.

∴ 的大小为. 

[解法2]

（Ⅰ）同解法1

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，

化简得.

由    及得

                 ①

                 ②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，∴，

设A、B两点的坐标分别为，

则，

∴，

∴ 的大小为.

（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

20:

本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.

（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.

由于都属于数集，

∴该数集具有性质P.

（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，

由于，∴，故.

从而，∴

∵， ∴，故.

由A具有性质P可知.

又∵，

∴，

从而，

∴.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，

∵，

∴，∴，

由A具有性质P可知.

由，得，且，∴，

∴，

即是首项为1，公比为成等比数列.

正在执行中......