2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）-试卷信息

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2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）试卷信息

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷总分为150分,共22道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有12小题，共60分)

(5分)函数的定义域为 （  ）

(5分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是

 （  ）

A. A

B. B

C. C

D. D

(5分)的展开式中的系数为 （  ）

A. 10

B. 5

D. 1

(5分)曲线在点处的切线的倾斜角为 （  ）

A. 30

B. 45

C. 60

D. 120

(5分)在中，=c，=b．若点满足，则= （  ）

A. b+c

B. c-b

C. b-c

D. b+c

(5分)是 （  ）

A. 最小正周期为的偶函数

B. 最小正周期为的奇函数

C. 最小正周期为的偶函数

D. 最小正周期为的奇函数

(5分)已知等比数列满足，则 （  ）

A. 64

B. 81

C. 128

D. 243

(5分)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 （  ）

A. e^2x-2

B. e^2x

C. e^2x+1

D. e^2x+2

(5分)为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图像 （  ）

A. 向左平移个长度单位

B. 向右平移个长度单位

C. 向左平移个长度单位

D. 向右平移个长度单位

10.

(5分)若直线与圆x²+y²=1有公共点，则 （  ）

A. a²+b²≤1

B. a²+b²≥1

11.

(5分)已知三棱柱ABC - A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为的中心，则与底面ABC所成角的正弦值等于 （  ）

12.

(5分)将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有


 
  
  1
  
  
  2
  
  
  3
  
 
 
  
  3
  
  
  1
  
  
  2
  
 
 
  
  2
  
  
  3
  
  
  1
  
 
 （  ）

A. 6种

B. 12种

C. 24种

D. 48种

二、填空题: (本大题有4小题，共20分)

13.

(5分)若满足约束条件则的最大值为 ．

14.

(5分)已知抛物线y=ax²-1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

15.

(5分)在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．

16.

(5分)已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 ．

三、问答题: (本大题有6小题，共70分)

17.

(10分)设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a cosB=3，b sinA=4．

（Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若的面积，求的周长．

18.

(12分)四棱锥A - BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，．

（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

（Ⅱ）设侧面ABC为等边三角形，求二面角C - AD - E的大小．

19.

(12分)在数列{a_n}中，a₁=1, a_n+1=2a_n+2ⁿ.

（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的前项和．

20.

(12分)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

21.

(12分)已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

22.

(12分)双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

14:

15:

16:

17:	解：（I）依题设得由正弦定理得所以即依题设知 a²cos²B=9 所以 a²=25，得a=5 （II）因为S= 所以，由S=10得c=5 应用余弦定理得 b= 故△ABC的周长 =a+b+c=2(5+)

18:

解法一：

(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，



由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，

从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，

由三垂线定理知，AD⊥CE

（II）作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。

由（I）知，CE⊥AD，

又CE∩CG=C，故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，

所以∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

GE=

cos∠CGE=

所以二面角C-AD-E为arccos()

 

解法二：

（I）作AO⊥BC，垂足为O，由题设知AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.

设A（0,0,t），由已知条件有

C(1,0,0), D(1,,0), E(-1, ,0),



所以，得AD⊥CE

（II）△ABC为等边三角形，因此A（0，0，）

作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|

故G（）



又



所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。

由cos()=

知二面角C-AD-E为arccos()

19:

解：

（I）由已知a_n+1=2a_n+2ⁿ得

b_n+1=

又b₁=a₁=1，因此{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列

（II）由（I）知

S_n=1+22¹+32²+…+n2ⁿ^－1

     两边乘以2得 2S_n=2+22²+…+n2ⁿ

两式相减得S_n=－1－2¹－2²－…－2ⁿ^－1+n2ⁿ

                  =－(2ⁿ－1)+n2ⁿ

                  =(n－1)2ⁿ+1

20:

解：

记A₁、A₂分别表示依方案甲需化验1次、2次，

 B表示依方案乙需化验3次，

   A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A₂与B独立，且

      ，，。

      P()=P(A₁+A₂B)

          =P(A₁)+P(A₂B)

          =P(A₁)+P(A₂)P(B)

          =

          =

所以 P(A)=1-P()==0.72

21:

解：

（I）f '(x)=3x²+2ax+1   判别式△=4(a²-3)

(i)若a或a－，则在()上f '(x)0，f(x)是增函数；

在（）内f '(x)0, f (x)是减函数；

在（）上f '(x)0， f(x)是增函数

(ii)若，则对所有x都有f '(x)0，故此时f(x)在R上是增函数

(iii)若a=，则f '()=0，且对所有的x≠都有f '(x)0，故当

a=时，f(x)在R上是增函数

（II）由（I）知，只有当a或a时，

f(x)在（）内是减函数

因此≤                         ①

且≥                           ②

当|a|时，由①、②解得a≥2

因此a的取值范围是[2,+)

22:

解：

（Ⅰ）设双曲线方程为(a0,b0)，右焦点为F(c,0)(c0)，则c²=a²+b²

不妨设l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0

则                 ，

                    

因为²+²=²，且=2-，

所以²+²=(2-)²，

于是得tan∠AOB=。

又与同向，故∠AOF=∠AOB，

所以             

解得             tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。

因此             

所以双曲线的离心率e==

（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为

        x²-4y²=4b²                                ①

由l₁的斜率为，c=b知，直线AB的方程为

        y=-2(x-b)                              ②

将②代入①并化简，得

        15x²-32bx+84b²=0

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，则

        x₁+x₂=，x₁x₂=                ③

AB被双曲线所截得的线段长

        l=  ④

将③代入④，并化简得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6

所以双曲线的方程为

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