i  

5    

1-  

3  

14  

解：

如图，建立空间直角坐标系。



则 A，C，A1，

B1，C1，         …… 2分

设AC的中点为M，BMAC，BMCC1，

 BM平面，即=（1，1，0）是平面的一个法向量。……5分

设平面A1B1C的一个法向量是=，

=，=，                            …… 7分

==0，=，令，解得。

=，                                               …… 10分

设法向量与的夹角为，二面角。

，解得

∴二面角的大小为                    …… 14分

证明：

 (1) 当时，

而当时，函数单调递增，且    ……3分

故单调递减。

所以，当，掌握程度的增长量总是下降          ……6分

解：

 (2) 由题意可知                           ……9分

整理得                                         ……13分

解得    ……14分

由此可知，该学科是乙学科

解：

 (1) 双曲线C的渐近线，即              …… 2分

直线的方程                             …… 6分

直线与m的距离                            …… 8分

 (2) 证法一：

设过原点且平行于的直线

则直线与的距离，

当时，。                                …… 12分

又双曲线C的渐近线为，

双曲线C的右支在直线的右下方，

双曲线C右支上的任意点到直线的距离大于。

故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为   …… 16分

证法二：假设双曲线C右支上存在点Q到直线的距离为，

则 

由（1）得，                    …… 11分

设

当时，：

            …… 13分

将代入（2）得，     （*）

，



∴方程（*）不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线C的右支上不存在点Q到直线的距离为   …… 16分

解：（1）函数的反函数是，

，

而 ，其反函数为  

故函数不满足“1和性质”              …… 4分

 (2) 设函数满足“2和性质”，。

,          …… 6分

而，得反函数， …… 8分

由“2和性质”定义可知对恒成立。

即所求一次函数.     ……10分

 (3) 设且点图像上，

则在函数图像上，

故    可得，         ……12分

令，.   ……14分

综上所述，此时其反函数是，

而故互为反函数。       ……16分

解：

 (1) 由，                      ……2分

整理后，可得，，为整数，

不存在，使等式成立。                       ……5分

 (2) 解法一：若即，        （*）

（ⅰ）若，

当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。   ……7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴，矛盾。

综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。

……10分

解法二：设，若，对都成立，且为等比数列，

则，对都成立，即，

，对都成立，

                                    ……7分

（ⅰ）若，。

（ⅱ）若，则（常数），即，则，矛盾

综上所述，，使对一切，       ……10分

 (3) ，

设

，

，，            ……13分

取，……15分

由二项展开式可得正整数，使得，



存在整数满足要求。

故当且仅当，命题成立。                            ……18分

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若为偶数，则为偶数，但为奇数。

故此等式不成立，一定为奇数。                         ……1分

当时，则，

而



当为偶数时，存在，使成立，                  ……1分

当时，则，

也即，，

由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分

当时，则，

也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，

故不是所有奇数都成立。                                        ……2分