2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学-试卷信息

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学试卷信息

2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学

本试卷总分为150分,共21道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有8小题，共40分)

(5分)若，，则 （  ）

A. ,

B. ,

C. ,

D. ,

(5分)对于非零向量“”是“”的 （  ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

(5分)将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于 （  ）

(5分)如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 

则 （  ）

(5分)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （  ）

A. 85

B. 56

C. 49

D. 28

(5分)已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为 （  ）

(5分)正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为
 （  ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

(5分)设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则 （  ）

A. K的最大值为2

B. K的最小值为2

C. K的最大值为1

D. K的最小值为1

二、填空题: (本大题有7小题，共35分)

(5分)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

10.

(5分)在的展开式中，的系数为(用数字作答).

11.

(5分)若，则的最小值为.

12.

(5分)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为

13.

(5分)一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为

14.

(5分)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
 (1) 球心到平面ABC的距离为；
 (2) 过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为

15.

(5分)将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有，，… ，.

三、问答题: (本大题有6小题，共75分)

16.

(12分)在中，已知，求角A，B，C的大小

17.

(12分)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。

18.

(12分)如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且

（I）证明：平面平面；
（II）求直线和平面所成角的正弦值。

19.

(13分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。
（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

20.

(13分)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和
 （Ⅰ）求点P的轨迹C；
 （Ⅱ）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

21.

(13分)对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 
,
则称数列为数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题
判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅱ）设是数列的前项和，给出下列两组论断；
A组：①数列是B-数列,      ②数列不是B-数列;
B组：③数列是B-数列,      ④数列不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论
组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

14:	(1) 12 (2) 3

15:

16:	解：设由得，所以. 又因此由得，于是. 所以，，因此，既. 由知，所以，从而或，既或故或。

17:

解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件       i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且

（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

           P=

  （Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，

由已知， B（3，），且=3-。

所以P（=0）=P（=3）==，

 P（=1）=P（=2）=  =，

P（=2）=P（=1）==，

P（=3）=P（=0）=  = .

故的分布列是


 
  
  
  
  
  0
  
  
  1
  
  
  2
  
  
  3
  
 
 
  
  P
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 


的数学期望E=+++=2.

解法2: 记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件，i=1,2,3 . 由已知，相互独立，且P（）=（）= P（）+P（）=+=，

所以,即，

故的分布列是




 
  
  
  
  
  0
  
  
  1
  
  
  2
  
  
  3
  
 
 
  
  P

18:

解：（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面.

又DE平面，所以DE.而DEAE，AE=A，

所以DE平面.又DE平面ADE，故平面平面

 (2) 解法1：  如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC，CF，

由正三棱柱的性质及D是的中点知，

CD，DF

又CDDF=D，所以平面CDF.而AB∥，

所以AB平面CDF.又AB平面ABC，

故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。

连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD==，DH===.

所以 sinHAD==。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为.

解法2：  如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0），  C（0，1，），  D（，，）。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，，）.

设平面ABC的法向量为,则有



解得

故可取.

所以，==。

由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

19:

解：（Ⅰ）设需新建个桥墩，则，

所以

            

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

          令，得，所以=64.

          当064时，0，在区间（0，64）内为减函数；

当时，0. 在区间（64，640）内为增函数.

所以在=64处取得最小值，此时

故需新建9个桥墩才能使最小。

20:

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则

由题设，，即.  ……①

当x2时，由①得  ……②

化简得

当时，由①得……③

化简得.

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1.

（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2

与，的交点都是A（2，），B（2，），

直线AF，BF的斜率分别为=，=.

当点P在上时，由②知. …… ④

当点P在上时，由③知. …… ⑤

若直线的斜率k存在，则直线的方程为.

（ⅰ）当k≤，或k≥，即k≤或k≥时，直线与轨迹C的两个交点都在上，此时由④知

，

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 -）+（6 - ）=12 - ( +).

由 得.

则，是这个方程的两根，所以+=，∣MN∣=12 -（+）=12 -.

因为当所以



当且仅当时，等号成立。

（ⅱ）当时，直线与轨迹C的两个交点

分别在上，不妨设点在上，点在上，

则由④⑤知，.

设直线AF与椭圆的另一交点为E

，

所以。而点A，E都在上，

且由（ⅰ）知

若直线的斜率不存在，则==3，此时

.

综上所述，线段MN长度的最大值为.

21:

解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则，于是

       .

因此=

因为所以即

         .

         故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。

（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.

     此命题为假命题。

     事实上，设，易知数列是B-数列，但,

                      .

由的任意性知，数列不是B-数列。

命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列.

此命题为真命题.

事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有

          ，

即。于是

        

，

所以数列是B-数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）

（III）若数列是数列，则存在正数，对任意的有

    ；

，

注意到

             .

同理，          . 记，，

则有

.

因此



        .

故数列是数列.

正在执行中......