2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）-试卷信息

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）试卷信息

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）

本试卷总分为170分,共24道小题,答题时间为120分钟

一、单项选择题: (本大题有12小题，共60分)

(5分)已知集合M={x|-3x≤5},N={x|-5x5},则M∩N= （  ）

A. {x|-5x5}

B. {x|-3x5}

C. {x|-5x≤5}

D. {x|-3x≤5}

(5分)已知复数，那么= （  ）

(5分)平面向量a与b的夹角为，， 则 （  ）

C. 4

D. 12

(5分)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 （  ）

(5分)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （  ）

A. 70种

B. 80种

C. 100种

D. 140种

(5分)设等比数列{}的前n 项和为，若=3 ，则 = （  ）

A. 2

D. 3

(5分)曲线y=在点（1，-1）处的切线方程为 （  ）

A. y=x-2

B. y=-3x+2

C. y=2x-3

D. y=-2x+1

(5分)已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=
 （  ）

B. -

(5分)已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 （  ）

A. （，）

B. ［，）

C. （，）

D. ［，）

10.

(5分)某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的
 （  ）

A. A0,V=S-T

B. A0,V=S-T

C. A0, V=S+T

D. A0, V=S+T

11.

(5分)正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 （  ）

A. 1：1

B. 1：2

C. 2：1

D. 3：2

12.

(5分)若满足, 满足, += （  ）

B. 3

D. 4

二、填空题: (本大题有4小题，共20分)

13.

(5分)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.

14.

(5分)等差数列的前项和为，且则

15.

(5分)设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为

16.

(5分)以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为  。

三、问答题: (本大题有8小题，共90分)

17.

(12分)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）

18.

(12分)如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（Ⅱ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

19.

(12分)某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。
（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）

20.

(12分)已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

21.

(12分)已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：若，则对任意x，x，xx，有。

22.

(10分)已知ABC中，AB=AC, D是ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。

（Ⅰ）求证：AD的延长线平分CDE；
（Ⅱ）若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。

23.

(10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

24.

(10分)设函数。
（Ⅰ）若解不等式；
（Ⅱ）如果,,求的取值范围。

> 显示答案

10:

11:

12:

13:

14:

15:

16:

17:

解:

在△ABC中，∠DAC=30, ∠ADC=60－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180－60－60=60，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，          ……5分

在△ABC中，

即

因此， 

故B，D的距离约为0.33km。                         ……12分

18:

（I）解法一：



取CD的中点G，连接MG，NG。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD，MG=2，NG=

因为平面ABCD⊥平面DCED，

所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。

因为MN=，所以为MN与平面DCEF所成角的正弦值   ……6分

解法二：



设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2).

又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，

可得

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

                                         ……6分

（Ⅱ）假设直线ME与BN共面，                                       ……8分

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线.                    ……12分

19:

解：

（Ⅰ）依题意知，

即的分列为


 
  
  
  
  
  0
  
  
  1
  
  
  2
  
  
  3
  
  
  4
  
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 


           ………………6分

（Ⅱ）设表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.

表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.

依题意知，

,

所求的概率为



       =

       =         ………12分

20:

解：

（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，

因为在椭圆上，所以，解得，（舍去）

所以椭圆方程为。                             ……………4分

（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得



 设,,因为点在椭圆上，所以

               

                                         ………8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得





所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为。                  ……12分

21:

解：(1)的定义域为。

           ……2分

（ⅰ）若即,则



故在单调增加。

（ⅱ）若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

（ⅲ）若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

（Ⅱ）考虑函数 



则

由于1a5,故，即在(0, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有                12分

22:

解：

（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点



∵A，B，C，D四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC  ∴∠ABC=∠ACB,

且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.

    连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=15⁰, ∠ACB=75⁰,

∴∠OCH=60⁰.

设圆半径为,则得,外接圆的面积为。

23:

解：

（Ⅰ）由得

      

从而C的直角坐标方程为



即    

                            ……5分

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）

N点的直角坐标为

所以P点的直角坐标为则P点的极坐标为

所以直线OP的极坐标方程为

24:

解：

（Ⅰ）当时，

由≥3得

≥3

（ⅰ）x≤-1时，不等式化为

1-x-1-x≥3 即-2x≥3

不等式组的解集为

综上得，的解集为                  ……5分

（Ⅱ）若，不满足题设条件

若 的最小值为

  的最小值为

所以的充要条件是，从而的取值范围为                           ……10分

正在执行中......